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具有等式约束和不等式约束的二次规划问题

二次规划(Quadratic Programming,简称QP)问题是指在一组线性等式约束和一组线性不等式约束下,求解一个二次目标函数的最优化问题。其一般形式可以表示为:

minimize 1/2 x' Q x + c' x
subject to A * x = b

       G * x <= h

其中,x 是待优化的变量,Q 是一个对称正定矩阵,c 是一个列向量,A 是一个矩阵,b 是一个列向量,G 是一个矩阵,h 是一个列向量。

下面是一个用MATLAB编写的求解带等式约束和不等式约束的二次规划问题的示例代码:

function x = solve_qp(Q, c, A, b, G, h)
    % 使用 quadprog 函数求解二次规划问题
    options = optimoptions('quadprog', 'Display', 'off');
    x = quadprog(Q, c, G, h, A, b, [], [], [], options);
end

接下来对代码中的各部分进行详细说明:

  1. 函数输入参数:

    • Q:二次目标函数的二次项系数矩阵(对称正定矩阵)
    • c:二次目标函数的一次项系数列向量
    • A:等式约束的系数矩阵
    • b:等式约束的右侧常数列向量
    • G:不等式约束的系数矩阵
    • h:不等式约束的右侧常数列向量
  2. 使用 quadprog 函数:

    • quadprog 是MATLAB中用于求解二次规划问题的函数。
    • options 是一个结构体,用于设置 quadprog 函数的选项。这里将 Display 设置为 'off',表示不显示求解过程信息。
    • x 是求解得到的最优解。

使用示例:

% 定义二次规划问题的参数
Q = [1 0; 0 2];
c = [1; -2];
A = [1 1];
b = 1;
G = [-1 0; 0 -1];
h = [0; 0];

% 求解二次规划问题
x = solve_qp(Q, c, A, b, G, h);

上述示例中,定义了一个二次规划问题,然后调用 solve_qp 函数求解得到最优解 x。