奇异值分解程序

资 源 简 介

应用背景 奇异值分解（Singular Value Decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，是矩阵分析中正规矩阵酉对角化的推广。在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。 关键技术 一个非负实数σ是M的一个奇异值仅当存在Km 的单位向量u和Kn的单位向量v如下 ： 其中向量u 和v分别

详 情 说 明

应用背景

奇异值分解（Singular Value Decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，是矩阵分析中正规矩阵酉对角化的推广。在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。

奇异值分解的详细解释

在数学和计算机科学领域，奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种矩阵分解方法。奇异值分解可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积: A = UΣVt，其中U和V是正交矩阵，Σ是半正定对角矩阵（即对角线上的元素非负），并且不同的奇异值按照非升序排列。

奇异值分解是一种非常有用的工具，它可以在很多应用中起到关键作用。比如，在图像处理领域，奇异值分解可以用来压缩图像。在语音处理领域，奇异值分解可以用来降噪和语音识别。在推荐系统领域，奇异值分解可以用来进行商品推荐。

关键技术

一个非负实数σ是M的一个奇异值仅当存在Km 的单位向量u和Kn的单位向量v如下 ：

M = uσv^T

其中向量u和v分别为σ的左奇异向量和右奇异向量。

对于任意的奇异值分解

M = UΣV^T

矩阵Σ的对角线上的元素等于M的奇异值。U和V的列分别是奇异值中的左、右奇异向量。因此，上述定理表明:

- 一个m × n的矩阵至多有 p = min(m,n)个不同的奇异值。

- 总是可以找到在Km 的一个正交基U，组成M的左奇异向量。

- 总是可以找到和Kn的一个正交基V，组成M的右奇异向量。

- 如果一个奇异值中可以找到两个左（或右）奇异向量是线性相关的，则称为退化。

奇异值分解是一个非常有用的工具，它可以用来处理各种各样的问题。无论是在学术研究中，还是在工业实践中，奇异值分解都是一个不可或缺的工具。